Geometri, Dimensi Tanpa Batas

dalam matematika geometri, setiap jenis dimensi divisualisasikan sebagai dimensi spasial. jadi tak ada perbedaan visualisasi geometris bagi 3 dimensi pokok yang kita kenal yaitu M (mass), L (length), dan T (time). misal pada grafik kecepatan pertumbuhan massa di bawah ini 👇

pada grafik tsb, dimensi M dan T divisualisasikan sebagai garis vertikal dan horizontal, dimana besarnya M dan T ditampilkan sebagai jarak suatu titik pada garis tsb dengan titik pusat bidang grafik (0,0). padahal massa dan waktu bukanlah besaran panjang, tapi divisualisasikan sebagai besaran panjang (dimensi L) dalam geometri.

untuk selanjutnya, pembahasan geometri mengenai dimensi ini hanya membahas tentang dimensi spasial saja dan berbagai derajatnya (titik, garis, bidang, ruang, dan dengan derajat yang lebih tinggi yang disebut dengan hyperspace), yang mana aplikasinya dalam sains dapat diperluas ke berbagai jenis dimensi.

suatu dimensi spasial dikatakan berderajat n, jika kita hanya bisa membuat maksimal n garis yang saling tegak lurus pada dimensi spasial tsb. contoh pada permukaan kertas, kita hanya bisa membuat 2 buah garis yang saling tegak lurus, seperti pada gambar berikut 👇

kita tidak bisa lagi membuat garis ke-3 yang tegak lurus dengan kedua garis sebelumnya, itu berarti permukaan kertas adalah dimensi spasial berderajat 2 yang dinamakan bidang.

kita memang bisa membuat garis sebanyak berapapun pada permukaan kertas tsb, tapi garis-garis yang dibuat tidak bisa tegak lurus dengan kedua garis sebelumnya. untuk membuat garis ketiga yang tegak lurus dengan kedua garis sebelumnya, garis tsb mesti menembus bidang permukaan kertas seperti pada gambar berikut (garis vertikal yang menembus kertas sebagai garis ke-3) 👇

pada dimensi spasial berderajat 3 inilah kita berada yang kita sebut dengan ruang. sebenarnya kata ruang agak ambigu dalam beberapa referensi bertema geometri, ada ruang yang memiliki definisi umum yaitu dimensi spasial. dalam definisi ini, bidang, garis, bahkan titik pun termasuk dalam kategori ruang, begitu juga dengan dimensi spasial yang lebih tinggi dari itu. ada juga ruang yang memiliki definisi khusus yaitu dimensi spasial berderajat 3. dalam definisi ini, titik, garis, dan bidang tidak termasuk dalam kategori ruang melainkan hanya unsur-unsur yang terdapat dalam ruang karena derajatnya yang lebih rendah. untuk menghindari ambigu, kata ruang dalam tulisan ini mengacu pada definisi khusus, dan untuk definisi umum akan tetap disebut dengan dimensi spasial.

matematika bukanlah sains (sehingga tak ada Nobel untuk temuan di bidang matematika), ia terus dikembangkan tanpa peduli dengan kenyataan. maksudnya, matematika tidak membutuhkan aplikasi di dunia nyata, ia hanya merupakan konsep yang bisa dibangun di alam pikiran walaupun manusia pada umumnya tidak tahu apa manfaatnya dalam sains. apakah nantinya konsep-konsep dalam matematika bermanfaat atau tidak itu bukanlah urusan matematikawan, mereka seperti orang yang asik membangun sebuah jalan tanpa memusingkan apakah jalan tsb akan dilewati orang ataukah tidak. beberapa konsep dalam teori bilangan misalnya, baru berasa manfaatnya dalam sains setelah ribuan tahun ditemukan.

begitu juga dengan konsep dimensi spasial dalam geometri. saya tidak tahu berapa derajat tertinggi dimensi-dimensi yang ada pada teori kosmologi sehingga geometri dapat diaplikasikan disitu. tapi geometri sendiri sudah mempersiapkan konsep tentang dimensi spasial berderajat tak hingga, walaupun mungkin dimensi spasial alam semesta derajatnya berhingga.

adalah tesseract (istilah ini diperkenalkan oleh Howard Hinton pada tahun 1888), yaitu suatu bangun 4-dimensional yang serupa dengan kubus (3 dimensi) dan persegi (2 dimensi). bedanya, tiap titik sudut pada persegi merupakan pertemuan antara 2 rusuk (garis) yang saling tegak lurus dan tiap titik sudut pada kubus merupakan pertemuan antara 3 rusuk yang saling tegak lurus, sedangkan tiap titik sudut pada tesseract merupakan pertemuan antara 4 rusuk yang saling tegak lurus. kita tak akan bisa mengkontruksikan tesseract dalam kehidupan nyata, karena ruang tempat kita berada dan melakukan percobaan ilmiah hanya mengizinkan maksimal 3 garis saja untuk dibuat saling tegak lurus. jika pun bangun 4 dimensi berbentuk tesseract itu ada dan diperlihatkan kepada kita, maka kita hanya akan melihatnya sebagai kubus biasa. analoginya, jika misalnya ada makhluk 2 dimensi yang menghuni permukaan lantai rumah kita (sayangnya makhluk 2 dimensi itu tidak ada), maka kubus yang diletakkan di lantai hanya terlihat sebagai persegi saja, yaitu salah satu sisi kubus yang menempel pada lantai. penglihatan makhluk 2 dimensi tidak akan mencapai sisi kubus yang lain. jangankan melihat, membayangkan saja akan sulit, bahkan mungkin tidak menyadari bahwa ruang dengan dimensi berderajat lebih dari 2 itu ada, dikiranya alam semesta hanya terbatas pada 2 dimensi spasial saja. begitu juga dengan kita, jangankan melihat bangun tesseract secara utuh, membayangkan saja akan sulit, bahkan mungkin beberapa dari kita tidak menyadari bahwa ruang dengan dimensi berderajat lebih dari 3 itu ada, dikiranya alam semesta hanya terbatas pada 3 dimensi spasial saja ditambah dengan dimensi waktu berderajat 1.

dalam ruang 3 dimensi, tesseract diilustrasikan sebagai 2 buah kubus yang setap 2 titik sudut antara masing-masing kubus dihubungkan oleh sebuah rusuk di luar kedua kubus tsb, sehingga titik sudut merupakan pertemuan 4 buah rusuk. itu hanya ilustrasi sehingga 4 rusuk pembentuk sudut tidak benar-benar saling tegak lurus, bukan wujud asli. jadi jangan dikira tesseract adalah kubus yang di dalamnya ada kubus lagi. pada tesseract sebenarnya, kubus kedua dan rusuk penghubung berada di luar dimensi kita.

walaupun tesseract tidak bisa dilihat secara utuh, tapi kita bisa mengetahui berapa titik sudutnya, berapa banyak rusuknya, berapa besaran dimensi spasial tertingginya (dimensi spasial tertinggi dalam 2 dimensi adalah luas, sedangkan dalam 3 dimensi adalah volume. dalam fisika dimensinya Lⁿ), dll. bagaimana caranya?

dengan mengkontruksikan dahulu sebuah tesseract di alam pikiran, diawali dengan mengkontruksi titik, garis, persegi, lalu kubus dan terakhir tesseract hingga hypercube berdimensi 5 dst.

setiap bangun geometris dalam dimensi spasial berderajat 0 hanya akan tampil dalam rupa sebuah titik, bangun pada sebuah titik memiliki 1 titik sudut (titik itu sendiri) dan 0 rusuk. pada dimensi spasial berderajat 1, bangun geometris tampil dalam rupa sebuah garis yang memiliki 2 titik sudut (ujung) dan 1 rusuk (garis itu sendiri). pada dimensi spasial berderajat 2, bangun geometris baru bisa ditampilkan dengan aneka bentuk, dalam hal ini sebuah persegi yang memiliki 4 titik sudut (banyaknya sudut sepasang garis) dan 4 rusuk (sepasang garis sejajar yang tegak lurus dengan sepasang garis lainnya). pada dimensi spasial berderajat 3, kubus memiliki 8 titik sudut (banyaknya sudut sepasang persegi) dan 12 rusuk (sepasang persegi sejajar memiliki 8 rusuk ditambah 4 rusuk lain sebagai penghubung tiap titik sudut pasangan persegi tsb). selanjutnya, sepasang kubus yang sejajar dalam dimensi berderajat 4 memiliki 16 titik sudut, tiap titik sudutnya dihubungkan dengan garis baru sehingga banyaknya rusuk menjadi 32 (24 rusuk pada sepasang kubus ditambah 8 rusuk lain sebagai penghubung tiap titik sudut pasangan kubus tsb. jadilah sebuah tesseract yang memiliki 16 titik sudut dan 32 rusuk.

dari sini dapat dirumuskan suatu formula banyaknya titik sudut dan rusuk pada hypercube berderajat n ;

v(n) = 2ⁿ
keterangan :
v(n) : banyaknya titik sudut
n : derajat dimensi spasial

v diambil dari huruf depan vertice yang berarti titik sudut, n diambil dari huruf depan natural number yang berarti bilangan asli (bilangan bulat positif). v(n) dibaca v, yang merupakan fungsi dari n. fungsi disini bukan istilah yang similar dengan kegunaan atau faedah, namun salah satu materi matematika yang biasanya dipelajari sebagai pembuka materi kalkulus.
v(0) = 2⁰ = 1
v(1) = 2¹ = 2
v(2) = 2² = 4
v(3) = 2³ = 8
v(4) = 2⁴ = 16
dst

e(n) = (2ⁿ⁻¹)n
keterangan :
e(n) : banyaknya rusuk
n : derajat dimensi spasial

e diambil dari huruf depan edge yang berarti rusuk.
e(0) = (2⁻¹)0 = 0
e(1) = (2⁰)1 = 1
e(2) = (2¹)2 = 4
e(3) = (2²)3 = 12
e(4) = (2³)4 = 32
dst

sekarang kita sudah bisa mengetahui banyaknya titik sudut dan rusuk bangun hypercube dalam dimensi spasial berderajat berapapun. misal untuk n=100, maka :
v(100) = 2¹⁰⁰
e(100) = (2⁹⁹)100
berapa hasilnya? silahkan gunakan kalkulator!

bagaimana dengan besaran dimensi spasial tertingginya?
V(0) = 0
V(1) = panjang garis = r
V(2) = luas persegi = r²
V(3) = volume kubus = r³
V(4) = r⁴
V(n) = rⁿ
dengan V(n) besaran dimensi spasial n-dimensional dan r panjang rusuk.

tambah 1 contoh lagi misalnya glome, bola dalam dimensi ke-4, yaitu sekumpulan titik-titik yang berjarak sama dalam 4 dimensi dari 1 titik tertentu.
jika luas lingkaran =πr² dan volume bola =(4πr³)/3, maka besaran dimensi spasial tertinggi dari glome =((π²)(r⁴))/2
formula umumnya untuk n-dimensional (hypersphere) :
V(n) = (√πⁿ)(rⁿ)/(Γ(1 + n/2))
dengan r radius (jari-jari) hyperspare dan Γ sebagai fungsi gamma.

  • ilmu kosmologi yang mempelajari struktur alam semesta berskala besar dengan latar dimensi spasial dan dimensi temporal telah banyak berkembang, dalam The Universes Unseen Dimensions, 3 ilmuwan fisika (Nima Arkani Hamed, Savas Dimopoulos, dan George Divali) memberikan gambaran tentang kemungkinan bahwa alam semesta kita terletak pada suatu membran atau selaput dari semesta dengan derajat dimensi spasial lebih tinggi. bagai kulit bola (2 dimensi) yang berada di permukaan ruang dalam bola (3 dimensi), atau selembar kertas yang berada diantara tumpukan kertas lainnya. demikian pula dengan dimensi waktu, tak menutup kemungkinan tidak hanya 1 dimensi saja, ingat teori waktu imajiner yang digambarkan dengan garis vertikal sedangkan waktu real digambarkan horizontal, pada titik-titik di garis imajiner tsb dapat ditarik juga garis waktu yang sejajar dengan garis waktu real milik kita, artinya seandainya kita bisa mengarungi waktu secara imajiner, kita tak akan menua dan bisa menyaksikan berbagai alur waktu real dengan sejarah yang berbeda-beda. teori bilangan dalam matematika juga memiliki konsep bilangan imajiner yang bersama dengan bilangan real membentuk bilangan kompleks. dalam geometri konsep bilangan kompleks juga divisualisasikan sebagai titik-titik pada bidang dengan kerangka garis bilangan real dan garis bilangan imajiner.

nah, teori-teori tsb sangat dimungkinkan untuk melewati jalan yang dibangun oleh geometri n-dimensional.